4. 矩阵函数及其应用

4.0 考试重点+例题

https://www.bilibili.com/read/cv4033852

• 常见向量范数，向量范数的等价（性）
• 常见矩阵范数，矩阵范数的相容（性）
• 求矩阵函数（对角化/最小多项式）
• 矩阵微分与积分

其他结论/定理（主要为以上内容的推导/前置铺垫）：

• 向量范数，矩阵的范数的定义、性质
• 向量/矩阵的极限
• 矩阵的幂级数及其收敛性
• 常用矩阵函数的性质

4.0.1 求最小多项式

4.0.2 求矩阵的微分和积分(矩阵函数的计算)

2020年考点题

4.0.3 哈密顿-开莱定理

利用特征多项式及哈密顿-开莱定理证明：任意可逆矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$都可以表示为$A$的多项式

证明$A$可逆，则$A^{-1}=g(\lambda)$,其中$g(\lambda)$为多项式

$$|\lambda E-A)=f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_n)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n \\ A^n+a_1A^{n-1}+\cdots+a_{n-1}A+a_nE=0 \\ A(A^{n-1}+a_1A^{n-2}+\cdots+a_{n-1})=-a_nE \\ A^{-1}=\frac{A^{n-1}+a_1A^{n-2}+\cdots+a_{n-1}}{-a_n}$$

设

$$A=\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0\end{bmatrix}$$

证明：当$n\ge 3$时，$A^n=A^{n-2}+A^2-E$,求$A^{100}$

$$|\lambda E-A|=\begin{bmatrix}\lambda-1 &0&0 \\ -1&\lambda &-1 \\ 0&-1&\lambda\end{bmatrix}=\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1 \\ A^3-A^2-A+E=0 \\ n=3,\to A^3=A+A^2-E \\ when \ n+1 \\ A^{n+1}=A^nA \\ =(A^{n-2}+A^2-E)A \\ =A^{n-1}+A^3-A \\ =A^{n-1}+A^2-E \\ A^100=A^{98}+A^2-E=A^{96}+A^2-E+A^2-E=A^2+49(A^2-E)=50A^2-49E$$

设$A=\begin{bmatrix}1&0&2 \\ 0&-1&1 \\ 0&1&0\end{bmatrix}$计算$\phi(A)=2A^8-3A^5+A^4+A^2-4E$

因$A$的特征多项式为$f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^3-2\lambda+1$

再取多项式$\phi(\lambda)=2^8-3\lambda^5+\lambda^4+\lambda^2-4$

以$f(\lambda)$去除$\phi(\lambda)$可得

$\phi(\lambda)=(2\lambda^5+4\lambda^3-5\lambda^2+9\lambda-14)f(\lambda)+r(\lambda)$

这里余式$r(\lambda)=24\lambda^2-37\lambda+10$

由哈密顿-开莱定理可得

$\phi(A)=25A^2-37A+10E=\begin{bmatrix}-3& 48&-26 \\ 0&95 &-61 \\ 0&-61&34\end{bmatrix}$

4.0.4 范数

证明是范数

或者计算范数

4.0.5 求矩阵函数

4.1 向量范数⭐️

4.1.1 范数概念(3条)

设$V$是实数域$R$(或复数域$C$)上的$n$维空间，对于$V$中任意一个向量$\alpha$按照某一确定法则对应着一个实数，

这个实数称为$\alpha$的范数，记为$||\alpha||$,并且要求范数满足下列运算条件

• 非负性，当$\alpha\ne 0，||\alpha||>0$，当且仅当$\alpha=0$时，$||\alpha||=0$
• 齐次性$||k\alpha||=|k|||\alpha||,k$为任意数
• 三角不等式：任意$\alpha,\beta\in V$，都有$||\alpha+\beta||\le ||\alpha||+||\beta||$

例子

在$n$维线性空间中$C^n$中，对于任意的向量

$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T\in C^n$

定义

（1）$||\alpha||_1=\sum_{i=1}^n|a_i|$（2）$||\alpha||_2=(\sum_{i=1}^n|a_i|^2)^{\frac{1}{2}}$（3）$||\alpha||_\infty=\max_{1\le i\le n}|a_i|$

$||\alpha||_1$为一范数

$||\alpha||_2$为二范数

$||\alpha||_\infty$为无穷范数

三种范数之间有性质

证明$||\alpha||_1,||\alpha||_2,||\alpha||_\infty$都是$C^n$上的范数，且有

• $||\alpha||_\infty\le ||\alpha||_1\le n||\alpha||_\infty$
• $||\alpha||_2\le ||\alpha||_1\le \sqrt{n}||\alpha||_2$
• $||\alpha||_\infty\le ||\alpha||_2\le n||\alpha||_\infty$

4.1.2 不等式

为了给一般范数一个定义，需要用到两个不等式

1) Holder不等式

设$\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T,\beta=[b_1,b_2,\cdots,b_n]^T\in C^n$,则

$$\sum_{i=1}^n|a_ib_i|\le (\sum_{i=1}^N|a_i|^p)^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^N|b_i|^q)^{\frac{1}{q}}$$

其中$p>1,q>1$，且$\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$

2) Minkowski不等式

设$\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T,\beta=[b_1,b_2,\cdots,b_n]^T\in C^n$,则

$$(\sum_{i=1}^n|a_i+b_i|^p)^{\frac{1}{p}}\le (\sum_{i=1}^N|a_i|^p)^{\frac{1}{p}}+(\sum_{i=1}^N|b_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$

其中$p\ge 1$

4.1.3 常见的向量范数(一范数，二范数，无穷范数)

定义：向量$\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T$，对任意的数$p\ge 1$,称

$$||\alpha||_p=(\sum_{i=1}^n|a_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$

为向量$\alpha$的p-范数

• $||\alpha||_1=\sum_{i=1}^n|a_i|$，$||\alpha||_1$为一范数

• $||\alpha||_2=(\sum_{i=1}^n|a_i|^2)^{\frac{1}{2}}=(\alpha^H\alpha)^{\frac{1}{2}}$，$||\alpha||_2$为二范数。也叫做欧式范数

  向量二范数矩阵表达式

  $||\alpha||_2^2=\alpha^H\alpha$

• $||\alpha||_\infty=\max_{1\le i\le n}|a_i|$，$||\alpha||_\infty$为无穷范数

定理

有限维线性空间$V$上的任意两个向量范数都是等价的，利用向量范数可以去构造新的范数

例子

设$||\cdot |_b$是$C^m$上的向量范数，且$A\in C^{m\times n},rank(A)=n$,则由

$$||\alpha||_a=||A\alpha||_b,\alpha\in C^n$$

所定义的$||\cdot |_a$是$C^n$上的向量范数

例子

设$V$是数域$F$上的$n$维线性空间，$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$为其一组基底，那么对于$V$中的任意一个向量$\alpha$可唯一地表示称

$\alpha=\sum_{i=1}^nx_i\varepsilon_i,X=[x_1,x_2,\cdots,x_n]\in F^n$

又设$||\cdot||$是$F^n$上的向量范数，则由

$||\alpha||_V=||X||$

所定义的$||\alpha||_V$是$V$上的向量范数

4.1.4 向量范数的等价性⭐️

设$||\alpha||_a,||\alpha||_b$是$n$维线性空间$V$上定义的两种向量范数，那么存在两个与$\alpha$无关的正数$d_1,d_2$，使得

$$d_1||\alpha||_b\le ||\alpha||_a\le d_2||\alpha||_b$$

4.2 矩阵范数⭐️

4.2.1 矩阵范数概念(4条)

对于任何一个矩阵$A\in C^{m\times n}$，用$||A||$表示按照某一确定法则与矩阵$A$相对应的一个实数，且满足

• 非负性，当$A \ne 0，||A||>0$，当且仅当$A=0$时，$||A||=0$

• 齐次性$||kA||=|k|||A||,k$为任意数

• 三角不等式：任意$A,B\in C^{m\times n}$，都有$||A+B||\le ||A||+||B||$

• 矩阵乘法的相容性，对于任意两个可以相乘的矩阵$A,B$，都有

  $||AB||\le ||A||||B||$

那么我们称$||A||$是矩阵$A$的范数

1) 矩阵乘法的相容性

矩阵乘法的相容性，对于任意两个可以相乘的矩阵$A,B$，都有

$||AB||\le ||A||||B||$

比向量范数多了一条规则

2) 如何证明是矩阵范数

直接证明矩阵范数？？？？证明其有四条性质即可

例子

对于任意$A\in C^{m\times n}$，定义

$$||A||=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij|}$$

可以证明如此定义的$||A||$为矩阵$A$的范数

例子二

证明$||AB||=n\max_{i,j}|a_{ij}|$为矩阵范数

非负性，齐次性，三角板不等式很容易证明

$$||AB||=n\max_{i,j}|\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}|\le n\max_{i,j}\sum_{k=1}^n|a_{ik}||b_{kj}| \\ \le n\cdot n \max_{i,k}a_{ik}\max_{k,j}|b_{kj}| \\ =n\max_{i,k}|a_{ik}|\cdot n\max_{k,j}|b_{kj}| \\ =||A|||B||$$

---

4.2.2 谱半径及其性质⭐️

矩阵的谱半径是指其特征值绝对值集合的上确界，一般若为方阵A的谱半径则写作ρ(A)。

$$\rho(A)=\max_{1\le i\le n}|\lambda_i|$$

例子

设$A\in C^{n\times n}$,那么$\rho(A)\le ||A||$，其中$||A||$ 是矩阵$A$的任何一种范数

性质

设$A$是一个$n$阶正规矩阵，则$\rho(A)=||A||_2$

---

4.2.3 向量范数诱导的矩阵范数⭐️

定义$||X||_\alpha$是向量范数，$||A||_\beta$是矩阵范数，如果对于任何矩阵$A$和向量$X$都有

$$||AX||_\alpha\le ||A||_\beta||X||_\alpha$$

则称矩阵范数$||A||_\beta$与向量范数$||X||_\alpha$是相容的

例子

矩阵的$Frobenius$范数与向量的$2-$范数是相容的

---

下面是诱导函数的定义

设$||X||_\alpha$是向量的范数，则

$$||A||_i=\max_{X\ne 0}\frac{||AX||_\alpha}{||X||_\alpha}$$

满足矩阵范数的定义，且$||A||_i$是与向量范数$||X||_\alpha$相容的矩阵范数

其中i表示induced就是诱导的意思

4.2.4 常见的矩阵范数⭐️

1) Frobenious范数酉不变性

对于任意$A\in C^{m\times n}$,定义

$$||A||_f=(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2)^{\frac{1}{2}}$$

可以证明$||A||$也是矩阵$A$的范数，我们称此范数为矩阵$A$的Frobenious范数

酉不变性

• 如果$A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix}$,那么$||A||_F^2=\sum_{i=1}^n||\alpha_i||_2^2$

• $||A||_F^2=Tr(A^HA)=\sum_{i=1}^n\lambda_i(A^HA)$

• 对于任何$m$阶酉矩阵$U$与$n$阶酉矩阵$V$都有等式

  $||A||_F=||UA||_F=||A^H||_F$

  $=||AV||_F=||UAV||_F$

---

2) 列和范数，谱范数，行和范数⭐️

设$A\in C^{m\times n}$则

• 列和范数，$||A||_1=\max_{j}(\sum_{i=1}^m|a_{ij}|),j=1,2,\cdots,n$

• 谱范数:$||A||_2=\max_{j}(\lambda_j(A^HA))^{\frac{1}{2}},j=1,2,\cdots,n$

  其中$\lambda_j(A^HA)$表示矩阵$A^HA$的第$j$个特征值

• 行和范数:$||A||_\infty=\max_i(\sum_{j=1}^n|a_{ij}|),i=1,2,\cdots,m$

命题$n$阶复矩阵$A$的谱半径不大于其任何一种范数

例子

已知$A=\begin{bmatrix}2&-1&0 \\ 0&2&3 \\ 1&2&0\end{bmatrix}$，计算$||A||_1,||A||_2,||A||_\infty,||A||_F$

$||A_1||=5$

$||A||_F=\sqrt{23}=\sqrt{5+9+9}$

$||A||_\infty=5$

$A^HA=\begin{bmatrix}5&0&0 \\ 0&9&6 \\ 0&6&9\end{bmatrix}$，所以$A^HA$的特征值为$5,15,3$,$||A||_2=\sqrt{15}$

---

3) 性质

对于任何矩阵$A\in C^{m\times n}$都有

• $||A^H||_1=||A^T||_1=||A||_\infty$
• $||A^H||_2=||A^T||_2=||A||_2$
• $||A^HA||_2=||A||_2^2$
• $||A||_2^2\le ||A||_1||A||_\infty$

如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？？

设$||A||_\star$是矩阵范数，则存在向量范数$||X||$使得

$||AX||\le ||A||_\star||X||$

证明：对于任意的非零向量$\alpha$，定义向量范数$||X||=||X\alpha^H||$

例子

已知矩阵范数

$||A||_\star=||A||=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|$

求与之相容的一个向量范数

解:取$\alpha=\begin{bmatrix}0&1&\cdots &0\end{bmatrix}^T$,设$X=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$

那么$||X||=||X\alpha^H||_\star=\sum_{i=1}^n|x_i|=||X||_1$

4.3 向量和矩阵的极限

4.3.1 矩阵的极限概念

设矩阵序列$\{A^{(k)}\}$,其中$A^{(k)}=[a_{ij}^{(k)}]\in C^{m\times n}$，如果$mn$个数列$\{a_{ij}^{(k)}\}，i=1,2,\cdots,m,j=1,2,\cdots,n$都收敛，则称矩阵序列$\{A^{(k)}\}$收敛、进一步，如果$\lim_{k\to \infty}a_{ij}^{(k)}=a_{ij}$，那么$\lim_{k\to \infty}A^{(k)}=A=[a_{ij}]$

我们称矩阵$A$为矩阵序列$A^{(k)}$的极限

---

其中矩阵序列$\{A^{(k)}\}$----》这是由矩阵构成的序列。

序列里面每个矩阵长这个样子$A^{(k)}=[a_{ij}^{(k)}]$

例子

定理

矩阵序列$\{A^{(k)}\}$收敛于$A$的充分必要条件是

$$\lim_{k\to \infty }||A^{(k)}-A||=0$$

其中$||A^{(k)}-A||$为任意一种矩阵范数

4.3.2 矩阵的极限相关性质

• 一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的

• 设$\lim_{k\to \infty }A^{(k)}=A,\lim_{k\to \infty }B^{(k)}=B$,则

  $\lim_{k\to \infty }aA^{(k)}+bB^{(k)}=aA+bB$

• 设$A^{(k)}\in C^{m\times l},B^{(k)}\in C^{l\times n}$,如果

  $\lim_{k\to \infty }A^{(k)}=A,\lim_{k\to \infty }B^{(k)}=B$

  那么$\lim_{k\to \infty}A^{(k)}B^{(k)}=AB$

• 设$\lim_{k\to \infty}A^{(k)}=A$,其中$A^{(k)}\in C^{m\times n},P\in C^{m\times m,Q\in C^{n\times n}}$

  那么$\lim_{k\to\infty }PA^{(k)}Q=PAQ$

• 设$\lim_{k\to\infty} A^{(k)}=A$,且$\{A^{(k)}\},A$均可逆，则$\{(A^{(k)})^{-1}\}$

  也收敛，且$\lim_{k\to \infty}(A^{(k)})^{-1}=A^{-1}$

例子

若对矩阵$A$的某一范数$||A||<1$，则$\lim_{k\to \infty}A^k=0$

已知矩阵序列$A,A^2,\cdots,A^k,\cdots$,则$\lim_{k\to \infty}A^k=0$的充要条件是$\rho(A)<1$

设$||\cdot||$是$C^{m\times n}$的相容矩阵范数，则对任意$A\in C^{m\times n}$,都有$\rho(A)=\lim_{k\to \infty}||A^k||^{\frac{1}{k}}$

4.4 矩阵幂级数

4.4.0 高等数学知识-无穷级数

1) 什么是级数？

在数学中，一个又穷或无穷的序列$u_0,u_1,u_2,\cdots$的和$s=u_0+u_1+u_2+\cdots$称为级数

• 如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数。
• 如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数；如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。
• 通项:序列$u_0,u_1,\cdots$中的项称作级数的通（或一般项)
• 正项级数，若通项为实数的无穷级数$\sum u_n$每一项$u_n$都是大于等于零的，则称$\sum u_n$是正数项级数

2) 什么是幂级数？

幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个。单变量的幂级数形式为：

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n \\ a_0+a_1(x-c)^1+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots$$

其中的$c$和$a_0,a_1,\cdots a_n$是常数。$a_0,a_1,\cdots,a_n$称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数

3) 常见的幂级数展开

$$e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots,x\in R \\ \cos x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots,x\in R \\ \sin x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots \\ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots,x\in (-1,1) \\ \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+\cdots,x\in(-1,1) \\ ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots,x\in (-1,1)$$

4.4.1 矩阵级数收敛性

1) 概念

设$A^{(k)}=[a_{ij}^{(k)}]\in C^{m\times n}$,

如果$mn$个常数项级数

$\sum_{k=1}^\infty a_{ij}^{(k)},i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n$都收敛，

则称就是矩阵级数$\sum_{k=1}^\infty A^{(k)}=A^{(1)}+A^{(2)}+\cdots+A^{(k)}+\cdots$收敛

---

如果$mn$个常数项级数

$\sum_{k=1}^\infty a_{ij}^{(k)},i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n$都绝对收敛，

则称矩阵级数$\sum_{k=1}^\infty A^{(k)}=A^{(1)}+A^{(2)}+\cdots+A^{(k)}+\cdots$绝对收敛

例子

如果设$A^{(k)}=[a_{ij}^{(k)}]\in C^{2\times 2}$

其中$\sum_{k=1}^\infty a_{11}^{(k)}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}$

$\sum_{k=1}^\infty a_{12}^{(k)}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3}$

$\sum_{k=1}^\infty a_{21}^{(k)}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\pi}{2^k}$

$\sum_{k=1}^\infty a_{22}^{(k)}=\sum_{k=1}^\infty \sin \frac{\pi}{2^k}$

那么矩阵级数$\sum_{k=1}^\infty A^{(k)}=A^{(1)}+A^{(2)}+\cdots+A^{(k)}+\cdots$是收敛的

2) 定理(收敛性判定)

$A^{(k)}=[a_{ij}^{(k)}]\in C^{m\times n}$,则

矩阵级数$\sum_{k=1}^\infty A^{(k)}=A^{(1)}+A^{(2)}+\cdots+A^{(k)}+\cdots$绝对收敛的充分必要条件是

正项级数$\sum_{k=1}^\infty ||A^{(k)}||=||A^{(1)}||+||A^{(2)}||+\cdots+||A^{(k)}||+\cdots$收敛，

其中$||A||$为任意一种矩阵范数

定理

对于两个绝对收敛的矩阵级数，他们的Cauchy积所组成的矩阵级数仍然绝对收敛

$S_1:A_1+A_2+\cdots+A_k+\cdots$

$S_2:B_1+B_2+\cdots+B_k+\cdots$

$S_1\to A,S_2\to B$

$S_3:A_1B_2+(A_1B_2+A_2B_1)+(A_1B_3+A_2A_2+A_3B_1)+\cdots+(A_1B_k+A_2B_{k-1}+\cdots+A_kB_1)+\cdots$

$S_3\to AB$

4.4.2 幂级数

1) 幂级数概念

设$A\in C^{n\times n}$,称形如

$\sum_{k=1}^\infty a_kA^k=a_0I+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_kA^k+\cdots$

的矩阵级数为矩阵幂级数

2) 幂级数定理

如果矩阵$A$的某个范数$||A||$在幂级数的

$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_kx^k+\cdots$

收敛域内，那么矩阵幂级数$\sum_{k=1}^\infty a_kA^k$绝对收敛

3) Cauchy-Hadamard 定理

幂级数$\sum_{k=0}a_kx^k$,当$||x||<R$时，绝对收敛，当$||x||>R$时发散。

当$||x||=R$时，幂级数收敛与否必须另行判定，这里$R$为此幂级数的收敛半径

$\frac{1}{R}=\lim_{k\to \infty}|\frac{a_{k+1}}{a_k}|$

矩阵版本

设幂级数$\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$的收敛半径为$R$,$A$为$n$阶方阵，

若$\rho(A)<R$，则矩阵幂级数$\sum_{k=0}^\infty a_kA^k$绝对收敛

若$\rho(A)>R$，则矩阵幂级数$\sum_{k=0}^\infty a_kA^k$发散

证明

设$A$的$Jordan$标准型为

$J=diag(J_1(\lambda_1),J_2(\lambda_2),\cdots,J_r(\lambda_r))$

其中

$$J_i= \begin{bmatrix} \lambda_i&1&&& \\ &\lambda_i&1&&& \\ &&\ddots&\ddots&& \\ &&&\ddots&1 \\ &&&&\lambda_i \end{bmatrix}$$

$A^k=Pdiag(J_1^k(\lambda_1),J_2^k(\lambda_2),\cdots,J_r^k(\lambda_r))P^{-1}$

$$J_i= \begin{bmatrix} \lambda_i^k&C_k^1\lambda_i^{k-1}&&&C_k^{d_i-1}\lambda_i^{k-d_i+1} \\ &\lambda_i^k&&&& \\ &&\ddots&\ddots&& \\ &&&\ddots&C_k^1\lambda_i^{k-1} \\ &&&&\lambda_i^k \end{bmatrix}$$

所以

$\sum_{k=0}^\infty a_kA^k=\sum_{k=0}^\infty a_k(PJ^kP^{-1})$

$=P(\sum_{k=0}^\infty a_kJ^k)P^{-1}$

$=Pdiag(\sum_{k=0}^\infty a_kJ_1^k(\lambda_1),\sum_{k=0}^\infty a_kJ_2^k(\lambda_2),\cdots,\sum_{k=0}^\infty a_kJ_r^k(\lambda_r))P^{-1}$

$$\sum_{k=0}^\infty a_kJ_i^k(\lambda_i)= \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^\infty a_k\lambda_i^k& \sum_{k=0}^\infty a_kC_k^1\lambda_i^{k-1}&&\cdots& \sum_{k=0}^\infty a_kC_k^{d_i-1}\lambda_i^{k-d_i+1} \\ & \sum_{k=0}^\infty a_k\lambda_i^k&&&\vdots \\ &&\ddots&\ddots&& \\ &&&\ddots& \sum_{k=0}^\infty a_kC_k^1\lambda_i^{k-1} \\ &&&& \sum_{k=0}^\infty a_k\lambda_i^k \end{bmatrix}$$

其中$c_k^l=\frac{k(k-1)\cdots (k-l+1)}{l!}$当$l\le k$

$c_k^l=0$，当$l>k$

当$\rho(A)<R$时，幂级数都收敛，

例子

矩阵幂级数

$e^A=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}$

$sin A$

$cos A=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}A^{2n}$

都是绝对收敛的

当矩阵的$A$的谱半径$\rho(A)<1$，下面的三个矩阵级数也是绝对收敛

$arctan A,ln(I+A),(I+A)^{-1},(I-A)^{-1}$

4.4.3 矩阵幂级数的收敛和

定理

矩阵幂级数

$I+A+A^2+\cdots +A^k+\cdots$绝对收敛的充分必要条件是$\rho(A)<1$，且其和为$(I-A)^{-1}$

例子

$A=\begin{bmatrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}$

求证，矩阵幂级数$\sum_{k=1}^\infty k^2A^k$收敛

求矩阵幂级数$\sum_{k=1}^\infty k^2 A^k$的收敛和

解：$|\lambda E-A|=(\lambda+\frac{2}{5})(\lambda-\frac{4}{5})$

可知$A$的特征是为$\lambda_1=\frac{-2}{5},\lambda_2=\frac{4}{5},\rho(A)=\frac{4}{5}$

而级数$k^2 A^k$的收敛半径为$R=1$

$\sum_{k=0}^\infty x^k=(1-x)^-1,(\sum_{k=0}^\infty x^k)^\prime=(1-x)^{-2}$

$\sum_{k=0}^\infty kx^{k-1}=(1-x)^{-2},\sum_{k=0}^\infty k x^k=x(1-x)^{-2}$

$(\sum_{k=0}^\infty kx^k)^\prime=(x+1)(1-x)^{-3}$

$\sum_{k=0}^\infty k^2x^k=x(1+x)(1-x)^{-3}$

所以$\sum_{k=0}^\infty k^2A^k=A(E+A)(E-A)^{-3}=5\begin{bmatrix}-\frac{7}{24}& \frac{11}{24} \\ \frac{11}{24}& -\frac{7}{24}\end{bmatrix}$

4.5 矩阵函数

4.5.1 矩阵多项式

1) 矩阵多项式定义

已知 $A\in C^{m\times n}$和关于变量x的多项式

$f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0$

那么我们称

$f(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0I$

为$A$的矩阵多项式

2) 矩阵多项式计算

设$A$为一个$n$阶矩阵，$J$为其$Jordan$标准型，则

$A=PJP^{-1}=Pdiag(J_1,J_2,\cdots,J_r)P^{-1}$

$=Pdiag(J_1(\lambda_1),J_2(\lambda_2),\cdots,J_r(\lambda_r)P^{-1})$

于是有了

$f(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0I$

$=a_m(PJP^{-1})^m+a_{m-1}(PJP^{-1})^{m-1}+\cdots+a_{1}(PJP^{-1})+a_0I$

3) 相关定理

设$A\in C^{n\times n},\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$为$A$的$n$个特征根，则矩阵多项式$f(A)$的特征根为

$$f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)$$

例子

已知多项式$f(x)=x^4-2x^3+x-1$与矩阵

$A=\begin{bmatrix}2&0&0\\ 1&1&1 \\ 1&-1&3\end{bmatrix}$

求$f(A)$

首先求出矩阵$A$的$Jordan$标准型$J$及其相似变换矩阵$P$

$J=\begin{bmatrix} 2&1&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&2\end{bmatrix},P=\begin{bmatrix}0&1&1 \\ 1&0&0 \\ 1&0&-1\end{bmatrix}$

并计算出

$P^{-1}=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 1&-1&1 \\ 0&1&-1\end{bmatrix}$

$f(A)=Pf(J)P^{-1}$

$$=\begin{bmatrix}0&1&1\\ 1&0&0 \\ 1&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}f(2)&f^\prime(2)&0\\ 1&f(2)&0 \\ 0&0&f(2)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&1&0\\ 1&-1&1 \\ 0&1&-1 \end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix}1&0&0\\ 9&-8&9 \\ 9&-9&10 \end{bmatrix}$$

4.5.2 最小多项式⭐️

1) 化零多项式

已知$A\in C^{m\times n}$和关于变量$x$的多项式

$f(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0I$

如果$f(x)$满足$f(A)=O_{n\times n}$,那么$f(x)$称为矩阵$A$的一个化零多项式

2) Hamilton-Cayley⭐️

Hamilton-Cayley定理(哈密顿一凯莱定理)

已知$A\in C^{n\times n}$,若$f(\lambda)=|\lambda E-A|$是$A$的特征多项式

则有$f(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0IO=_{n\times n}$

我们称此定理为Hamilton-Cayley定理

例子

$A=\begin{bmatrix}2&0&0\\ 0&2&1 \\ 0&0&2 \end{bmatrix}$

特征多项式为$f(\lambda)=(\lambda-2)^3$,显然$f(A)=O$

3) 最小多项式概念

设$A$是$n$阶矩阵，则$A$的首项系数为1的次数最小的零化多项式$m(\lambda)$称为$A$的最小多项式

4) 最小多项式的性质

• 矩阵的任何一个化零多项式均能被$m(\lambda)$整除
• 矩阵$A$的最小多项式的唯一的
• 相似矩阵有相同的最小多项式

5) 最小多项式的计算⭐️

引理

$k$级Jordan块的$J=\begin{bmatrix}a_i&1&&& \\ &a_i&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\ddots&1\\ &&&&a_i\end{bmatrix}$最小多项式为$(x-a)^k$

定理

数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积

定理

已知分块对角矩阵$A=diag(A_1,A_2,\cdots,A_r),m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots,m_r(\lambda)$分别为子块$A_1,A_2,\cdots,A_r$的最小多项式。则$A$的最小多项式为$m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots,m_r(\lambda)$的最小公倍数$[m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots,m_r(\lambda)]$

定理

例子

4.5.3 矩阵函数概念

影谱上有定义

设$A\in C^{n\times n},\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$为$A$的$s$个互异的特征值，

$A$的最小多项式$m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{d_1}(\lambda-\lambda_2)^{d_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{d_s}$

其中$d_i\ge 1(i=1,2,\cdots,s),\sum_{i=1}^sd_i=m$

如果函数$f(x)$具有足够高阶的导数并且下列$m$个值

$\{f(\lambda_i),f^\prime(\lambda_i),\cdots ,f^{(d_i-1)}(\lambda_i)\}$

存在，则称函数$f(x)$在矩阵$A$的影谱上有定义。

例子

---

矩阵函数的定义

设矩阵$A\in C^{n\times n}$，其最小多项式为$m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{d_1}(\lambda-\lambda_2)^{d_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{d_s}$

函数$f(x)$在矩阵$A$的影谱上有定义，如果存在多项式$p(\lambda)$满足

$f^{(k)}(\lambda_i)=p^{(k)}(\lambda_i),i=1,2,\cdots,s$

则定义矩阵函数$f(A)=p(A)$

注意点

• 满足上述定义的多项式$p(\lambda)$存在且不唯一
• 矩阵函数$f(A)$是与$A$相同阶数的矩阵

定理

设$g(\lambda)$与$q(\lambda)$为两个不同的多项式，$A$为$n$阶矩阵，则$g(A)=q(A)$的充分必要条件是$g(\lambda)$和$q(\lambda)$在$A$的影谱上的值对应相等，即

$g^{(k)}(\lambda_i)=q^{(k)}(\lambda_i)$

设$A\in C^{n\times n}$,如果$f(A)$有定义，那么$f(A^T)$是否也有定义

因为$A$与$A^T$相似，所以有相同的最小多项式，$f(x)$在$A$上有定义 ，所以$f(A^T)$有定义

4.5.4 矩阵函数计算

1) 矩阵函数的Jordan表示

设$A\in C^{n\times n}$，$J$为矩阵的Jordan标准型，$P$为其相似变换矩阵且使得$A=PJP^{-1}$，

如果函数$f(x)$在矩阵$A$的影谱上有定义，那么$f(A)=Pf(J)P^{-1}$

定理

设$A\in C^{n\times n}，\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$为$A$的$n$个特征根，则矩阵函数$f(A)$的特征根，则矩阵函数$f(A)$的特征根为

$f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)$

例子

设$A=\begin{bmatrix}-1&-2&6 \\ -1&0&3 \\ -1&-1&4\end{bmatrix}$

求$f(A)$的$Jordan$表示并计算$e^{tA},\sin A$

$J=\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{bmatrix},P=\begin{bmatrix}-1&2&2 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1\end{bmatrix}$

从而$f(A)$的Jordan表示为

$f(A)=Pf(J)P^{-1}$

$=\begin{bmatrix}-1&2&2 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f(1)&0&0 \\ 0&f(1)&f^\prime(1) \\ 0&0&f(1)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0&2 \\ 1&1&-2 \\ -1&-1&3\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}f(1)-2f^\prime(1)&-2f^\prime(1)&6f^\prime(1) \\ -f^\prime(1)&f(1)-f^\prime(1)&3f^\prime(1) \\ -f^\prime(1)&-f^\prime(1)&f(1)+3f^\prime(1)\end{bmatrix}$

当$f(x)=e^{tx}$是，可得$f(1)=e^t,f^\prime(1)=te^t$

$$e^{tA}=\begin{bmatrix} (1-2t)e^t&-2te^t&6te^t \\ -te^t&(1-t)e^t&3te^t \\ -te^{t}&-te^t&(1+3t)e^t \end{bmatrix}$$

2) 矩阵函数的多项式表示

设矩阵$A\in C^{n\times n}$的最小多项式$m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{d_1}(\lambda-\lambda_2)^{d_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{d_s}$

其中$d_i\ge 1(i=1,2,\cdots,s),\sum_{i=1}^sd_i=m$

根据计算方法中的Lagrange-Svlvester内插多项式定理可得，有一个次数为$m-1$次的多项式

$p(x)=a_{m-1}x^{m-1}+a_{m-2}x^{m-2}+\cdots+a_1x+a_0$

满足$p^{(k)}(\lambda_i)=f^{(k)}(\lambda_i),i=1,2,\cdots,s$

$p(x)$的系数为$a_{m-1},a_{m-2},\cdots,a_1,a_0$，可以通过上面关系树确定出来，我们称

$f(A)=a_{m-1}A^{m-1}+a_{m-2}A^{m-2}+\cdots+a_1A+a_0I$

为矩阵函数$f(A)$的多项式表示

例子

设$A=\begin{bmatrix}2&0&0 \\ 1&1&1 \\ 1&-1&3\end{bmatrix}$

求$f(A)$的多项式表示并且计算$e^{tA}$

解求$A$的Jordan标准型为

$J=\begin{bmatrix}2&0&0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2\end{bmatrix}$

矩阵$A$的最小多项式为$m(\lambda)=(\lambda-2)^2$，

从而存在一个次数为1的多项式$p(x)=a_1x+a_0$满足

$p(2)=f(2),p^\prime=f^\prime(2)$

即$f(2)=2a_1+a_0,f^\prime(2)=a_1$

解得$a_0=f(2)-2f^\prime(2),a_1=f^\prime(2)$

4.5.5 矩阵函数的幂级数表示

设$A\in C^{n\times n}$，一元函数$f(x)$能够展开成关于$x$的幂级数$f(x)=\sum_{k=0}^\infty c_kx^k$，收敛半径为$R$当矩阵$A$的谱半径$\rho(A)<R$时，矩阵幂级数$\sum_{k=0}^\infty c_kA^k$绝对收敛并且

$f(A)=\sum_{k=0}^\infty c_kA^k$

例子

已知$A=\begin{bmatrix}2&0&0 \\ 1&1&1 \\ 1&-1&3\end{bmatrix}$

求矩阵幂级数$\sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{10^{k+1}}A^k$的和

解$A$的Jordan标准型为$J=\begin{bmatrix}2&0&0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2\end{bmatrix}$

所以$\rho(A)=2$

4.6 矩阵的微分和积分

4.6.1 函数矩阵⭐️

1) 函数矩阵概念

以未定元x的函数为元素的矩阵

$$\begin{bmatrix} a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots&a_{1n}(x) \\ a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots&a_{2n}(x) \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ a_{m1}(x)&a_{m2}(x)&\cdots&a_{mn}(x) \end{bmatrix}$$

称为函数矩阵，其中所有的元素$a_{ij}$都是定义在闭区间$[a,b]$上的多项式

函数矩阵和数字矩阵一样有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则相同

已知

$A=\begin{bmatrix}1-x& \sin x \\ e^x&1+x\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1+x&\cos x \\ e^x&1-x\end{bmatrix}$

计算$A+B,AB,A^T,2^x(A-B)$

2) 函数矩阵的可逆矩阵

设$A(x)$为一个$n$阶函数矩阵，如果存在$n$阶函数矩阵$B(x)$使得对于任何$x\in [a,b]$都有

$A(x)B(x)=B(x)A(x)=I$

那么我们称$A(x)$在区间$[a,b]$上是可逆的。称$B(x)$是$A(x)$的逆矩阵，一般记为$A^{-1}(x)$

---

3) 函数矩阵可逆的充分必要条件

定理

$n$阶矩阵$A(x)$在区间$[a,b]$上可逆的充分必要条件是$|A(x)|$在$[a,b]$处处不为零，并且

$$A^{-1}(x)=\frac{1}{|A(x)|}A^*(x)$$

其中$A^*(x)$为矩阵$A(x)$的伴随矩阵

4) 函数矩阵的秩

区间在$[a,b]$上的$m\times n$函数矩阵不恒等于零的子式的最高阶数称为$A(x)$的秩

特别的，设$A(x)$在区间$[a,b]$上的$n$阶函数矩阵，如果$A(x)$的秩为$n$,则称$A(x)$一个满秩矩阵

注意点。对于$n$阶函数矩阵而言，满秩与可逆不是等价的，可逆的一定是满秩的，但是满秩的并不一定是可逆的

5) 函数矩阵的导数⭐️

定义：如果$A(x)=(a_{ij}(x))_{m\times n}$的所有各元素$a_{ij}(x)$在$x=x_0$处有极限，即

$\lim_{x\to x_0}a_{ij}(x)=a_{ij}$

其中$a_{ij}$为固定常数。则称$A(x)$在$x=x_0$处有极限，且记为$\lim_{x \to x_0}A(x)=A$

其中

$$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}$$

如果$A(x)$​各元素$a_{ij}$​在$x=x_0$​处连续，即$\lim_{x\to x_0}a_{ij}(x)=a_{ij}(x_0)$

则称$A(x)$在$x=x_0$处连续，且记为$\lim_{x\to x_0}A(x)=A(x_0)$

容易验证下面的等式是成立的

设$\lim_{x\to x_0}A(x)=A,\lim_{x\to x_0}B(x)=B$

则$\lim_{x\to x_0}A(x)\pm B(x)=A\pm B$

$\lim_{x\to x_0}(kA(x))=kA$

$\lim_{x\to x_0}A(x)B(x)=AB$

导数定义

如果$A(x)=(a_{ij}(x))_{m\times n}$的所有各元素$a_{ij}(x)$在点$x=x_0$处(或在区间$[a,b]$上)可导，便称此函数矩阵$A(x)$在点$x=x_0$处(或在区间$[a,b]$上)可导，并且记为

$$A^\prime(x_0)=\frac{dA(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x} \\ =\begin{bmatrix} a_{11}^\prime&a_{13}^\prime&\cdots&a_{1n}^\prime \\ a_{21}^\prime&a_{22}^\prime&\cdots&a_{2n}^\prime \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ a_{m1}^\prime&a_{m2}^\prime&\cdots&a_{mn}^\prime \end{bmatrix}$$

导数性质

• $A(x)$是常数矩阵的充分必要条件是

  $\frac{dA(x)}{dx}=0$

• 设$A(x)=(a_{ij}(x))_{m\times n},B(x)=(b_{ij}(x))_{m\times n}$均可导，则

  $\frac{d}{dx}[A(x)+B(x)]=\frac{d A(x)}{dx}+\frac{dB(x)}{dx}$

• 设$k(x)$是$x$的纯量函数，$A(x)$是多项式矩阵，$k(x)$与$A(x)$均可导，则

  $\frac{d}{dx}[k(x)A(x)]=\frac{dk(x)}{dx}A(x)+k(x)\frac{dA(x)}{dx}$

  特别地，当$k(x)$是常数$k$,时

  $\frac{d}{dx}[kA(x)]=k\frac{dA(x)}{dx}$

• 设$A(x),B(x)$均可导，且$A(x)$与$B(x)$是可乘的，则

  $\frac{d}{dx}[A(x)B(x)]=\frac{dA(x)}{dx}B(x)+A(x)\frac{dB(x)}{dx}$

• 如果$A(x)$与$A^{-1}(x)$均可导，则

  $\frac{d A^{-1}(x)}{dx}=-A^{-1}(x)\frac{dA(x)}{dx}A^{-1}(x)$

• 设$A(x)$为一函数矩阵，$x=f(t)$是$t$的纯量函数，$f(t)$与$A(x)$均可导则

  $\frac{d}{dt}A(x)=\frac{dA(x)}{dx}f^\prime(t)=f^\prime(t)\frac{d A(x)}{dx}$

6) 函数矩阵的定积分⭐️

函数矩阵的定积分性质如下

$\int_a^bkA(x)dx=k\int_a^nA(x)dx$

$\int_a^b[A(x)+B(x)]dx=\int_a^bA(x)dx+\int_a^bB(x)dx$

例子

$$\frac{d}{dx}A(x)=\begin{bmatrix}0&2x \\ 1&0\end{bmatrix}\quad \frac{d^2}{dx^2}A(x)=\begin{bmatrix}0&2 \\ 0&0\end{bmatrix}\quad \frac{d^3}{dx^3}A(x)=\begin{bmatrix}0&0 \\ 0&0\end{bmatrix}$$

由于$|A(x)|=-x^3$,所以

$\frac{d}{dx}|A(x)|=-3x^2$

下面去$A^{-1}(x)$，由伴随矩阵公式可得

例子二

检验

7) 函数向量的相关性

设有定义在区间$[a,b]$上的$m$个连续的函数变量$a_i(x)=(a_{i1}(x),a_{i2}(x),\cdots,a_{in}(x))$

如果存在一组不全为零的常实数$k-1，k_2,\cdots,k_m$使得对所有的$x\in [a,b]$等式

$k_1\alpha_1(x)+k_2\alpha_2(x)+\cdots+k_m\alpha_m(x)=0$

成立，我们称在$[a,b]$上$\alpha_1(x),\alpha_2(x),\cdots,\alpha_m(x)$线性相关

定义

设$\alpha_1(x),\alpha_2(x),\cdots,\alpha_m(x)$是$m$个定义在区间$[a,b]$上的连续函数向量

$\alpha_i(x)=(\alpha_{i1}(x),\alpha_{i2}(x),\cdots,\alpha_{im}(x))$

记$g_{ij}=\int_a^b \alpha_i(x)\alpha_j^T(x)dx$

以$g_{ij}$为元素的常数矩阵

$G=(g_{ij})_{m\times n}$

称为$\alpha_1(x),\alpha_2(x),\cdots,\alpha_m(x)$的$Gram$矩阵，$detG$称为$Gram$行列式

定理

定义在区间$[a,b]$上的连续多项式向量$\alpha_1(x),\alpha_2(x),\cdots,\alpha_m(x)$线性无关的充要条件是她$Gram$矩阵为满秩矩阵

例子

定义

4.6.2 矩阵的微分方程⭐️

形如

$$\frac{dx_1}{dt}=a_{11}(t)x_1(t)+a_{12}(t)x_2(t)+\cdots+a_{1n}(t)x_n(t)+f_1(t) \\ \frac{dx_2}{dt}=a_{21}(t)x_1(t)+a_{22}(t)x_2(t)+\cdots+a_{2n}(t)x_n(t)+f_2(t) \\ \cdots \\ \frac{dx_n}{dt}=a_{n1}(t)x_1(t)+a_{n2}(t)x_2(t)+\cdots+a_{nn}(t)x_n(t)+f_n(t)$$

的线性微分方程组在引进多项式矩阵与多项式向量以后可以表示如下形式

$$\frac{dx(t)}{dt}=A(t)x(t)+f(t) \\ A(t)= \begin{bmatrix} a_{11}(t)&a_{12}(t)&\cdots&a_{1n}(t) \\ a_{21}(t)&a_{22}(t)&\cdots&a_{2n}(t) \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ a_{n1}(t)&a_{n2}(t)&\cdots&a_{nn}(t) \end{bmatrix} \\ x(t)=[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)]^T \\ f(t)=[f_1(t),f_2(t),\cdots,f_n(t)]^T$$

定理

设$A$是一个$n$阶常数矩阵，则微分方程组

$$\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)$$

满足初始条件$x(t_0)=x_0$的解为

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0$$

定理

设$A$是一个$n$阶常数矩阵，则微分方程组

$$\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+f(t)$$

满足初始条件$x(t_0)=x_0$的解为

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}[x_0+\int_{t_0}^t e^{A(t-\tau)}f(\tau)d\tau]$$

定理

设$A,B$都是$n$阶常数矩阵，$f(t)$是一个连续的多项式向量，那么线性非齐次初值问题

$$\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+Bf(t),x(t_0)=x_0$$

的解可以由如下公式给出

$$x=e^{A(t-t_0)}[x_0+\int_{t_0}^te^{A(t-\tau)}Bf(\tau)d\tau]$$

定义

设$A$是一个$n$阶常数矩阵，如果对任意的$t_0$和$x_0$,初值问题

$$\begin{cases} \frac{dx(t)}{dt}=Ax(t) \\ x(t_0)=x_0 \end{cases}$$

的解$x(t)$满足$\lim_{t\to \infty}x(t)=0$，那么称微分方程组

$\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)$的解渐近稳定的

例子

设$A=\begin{bmatrix}1&-2&6 \\ -1&0&3 \\ -1&-1&4\end{bmatrix}$

求微分方程组$\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)$满足初始条件$x(0)=\begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}^T$的解

例子2