3. 矩阵的标准型

3.0 考试重点+例子讲解

重点内容

• 求约当标准型

• 求约当标准型对应的P矩阵（$P^{-1}AP=J$中的P，J为约当标准型）

• 求矩阵的多项式的值（哈密顿-开莱定理的运用）

• 求最小多项式

• 求史密斯标准型

• 求SVD（奇异值分解）

3.0.1 求不变因子，行列式因子，初等因子

3.0.2 求Jordan 标准形和相似矩阵P

3.0.3 三个分解

LU分解--待定分解

$$\begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&0&1 \\ 2&1&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 2&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1&1 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix}$$

QR分解

$$A=\begin{bmatrix}1&2&1 \\1&2&0 \\1&2&0\end{bmatrix} \\ \alpha_1=\begin{bmatrix}1 \\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \alpha_2=\begin{bmatrix}2\\ 2 \\2 \end{bmatrix} \alpha_3=\begin{bmatrix}1\\ 0 \\0 \end{bmatrix} \\ Smith\to \beta_1=\begin{bmatrix}1 \\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \beta_2=\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix} \beta_3=\begin{bmatrix}2\\ -1\\ -1\end{bmatrix} \\ Q=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&0&\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix} \\ R=Q^HA=Q=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1 \\1&2&0 \\1&2&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\sqrt{3}&2\sqrt{3}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0&0&0 \\ 0&0&\frac{2}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}$$

奇异值分解

3.1 $\lambda$ 矩阵(多项式矩阵)

3.1.1 多项式矩阵概念

设$a_{ij}(\lambda)(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,m)$为数域$F$上的多项式，则称

$$A(\lambda)=\begin{bmatrix} a_{11}(\lambda)&a_{12}(\lambda)&\cdots&a_{1n}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda)&a_{22}(\lambda)&\cdots&a_{2n}(\lambda) \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ a_{m1}(\lambda)&a_{m2}(\lambda)&\cdots&a_{mm}(\lambda) \end{bmatrix}$$

为多项式矩阵，或$\lambda$矩阵

所谓$\lambda$ - 矩阵，简单说来就是矩阵中的每个元素都是关于$\lambda$的多项式。

$a_{ij}(\lambda)(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,m)$中最高的次数为$A(\lambda)$的次数

例子：数字矩阵，特征矩阵$\lambda E-A$

3.1.2 多项式矩阵性质

多项式矩阵秩

如果$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$中有一个r阶($r\ge 1$)子式不为0，而所有$r+1$阶子式（如果有的话）全为0，

则称$A(\lambda)$的秩为r.记为$rank\ A(\lambda)=r$，零矩阵的秩为0.

多项式矩阵等价

如果$A(\lambda)$经过有限次的初等变换之后变成$B(\lambda)$，则称$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价，记为$A(\lambda)\simeq B(\lambda)$

$\lambda$-矩阵的等价关系

• 自反性：$A(\lambda)\simeq A(\lambda)$
• 对称性$A(\lambda)\simeq B(\lambda)$，则$B(\lambda)\simeq A(\lambda)$
• 传递性，若$A(\lambda)\simeq B(\lambda)$，$B(\lambda)\simeq C(\lambda)$,则$A(\lambda)\simeq C(\lambda)$

相抵矩阵

如果矩阵A可以经过一系列初等行变换和初等列变换变成矩阵B，则称A与B是相抵，又称A与B等价。

3.1.3 多项式矩阵初等变换

可以进行的相关操作

设$A\in C^{n\times n},\lambda I_n-A$是$A$的特征矩阵，其初等变换操作

• 变换$\lambda I_n-A$的两行(列)
• $\lambda I_n-A$的某一行(列)同乘以一个非零常数
• $\lambda I_n-A$的某一行(列)同乘以多项式$\phi(\lambda)$加到另一行(列)

3.1.4 多项式矩阵的运算

1) 一元多项式的乘法

$$(1+x+x^2)(1+2x)=\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}$$

我们将多项式以降幂方式排列，然后用各次幂项的系数做成向量。显然，这样的表示是一一对应的。好了，我要开始骚操作了：

$$\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 1&2&0 \\ 1&2&0 \end{bmatrix}$$

没错，结果的确是——

$(1+x+x^2)(1+2x)=1+3x+3x^2+2x^3$

如上图，我们记沿着方阵次对角线方向求和的运算为$\phi=\mathbb{R}^\infty\times \mathbb{R}^\infty\to \mathbb{R}^\infty$,于是一元多项式乘积可以表示为：

定理$f\otimes g=\phi(fg^T)$

2) 二元多项式乘法

例子一

$1+2x+3y=\begin{bmatrix}1&3\\ 2&0\end{bmatrix}$

这样的表示原理其实和例 1 是一致的，我们可以看作：

$(1+2x)+3y=\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}\otimes \begin{bmatrix}0&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\ 2&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&3\\ 0&0\end{bmatrix}$

交叉项那该如何表示？

例子二

$(1+2x+3y+4xy)=\begin{bmatrix}1&3\\ 2&4\end{bmatrix}$

我们将这个矩阵记为$A$,接下来还会用它举例。看了下图相信你就明白了

例子三

$(1+2x+3y+4xy)x^my^n=x^my^n+2x^{m+1}y^n+3x^my^{n+1}+4x^{m+1}y^{n+1}$

我们将此运算结果表示为矩阵

$\begin{bmatrix}O_{(m-1)\times(n-1)}&&\\ &1&3\\ &2&4\end{bmatrix}$

实际上它是下面矩阵乘法的运算结果——

$\begin{bmatrix}O_{(m-1)\times 2}&E\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}O_{2\times(n-1)}&E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}O_{(m-1)\times(n-1)}&&\\ &1&3\\ &2&4\end{bmatrix}$

$\phi(A)=\lambda Q_mAQ_n$

特就是说，将矩阵$A$分别向左，下方向移动$n,m$个单位，其余元素以零补充，

另外，考虑所乘单项式的系数$\lambda$,只要把$\lambda$提到矩阵前面就可以了。

定理

$f\cdot g=f\sum g_k=\sum\lambda_k \Phi_k(f)$

其中$g_k$是单项式

3.2 Smith标准型⭐️

3.2.1 Smith标准型基本概念⭐️

概念

任意一个非零的$m\times n$型的$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$都等价于一个"对角矩阵"。

$$A(\lambda)= \begin{bmatrix} d_1(\lambda)&&&&&& \\ &d_2(\lambda)&&&&& \\ &&\ddots&&&& \\ &&&d_r(\lambda)&&& \\ &&&&0&& \\ &&&&&\ddots& \\ &&&&&&0 \end{bmatrix}$$

其中$r\ge 1$,$d_i(\lambda)$是首项系数为1的多项式且$d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)(i=1,2,\cdots,r-1)$

称这种形式的$\lambda$-矩阵为$A(\lambda)$的Smith标准型

$d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_r(\lambda)$称为$A(\lambda)$的不变因子

计算

例子一

例子二

例子三

我们在求n-1阶矩阵时，有一个矩阵非常重要，就是去掉第一列，和最后一行。结果就是

$$\begin{vmatrix} c_1&0&\cdots&0 \\ \lambda-a&c_2&\cdots&0 \\ 0&\ddots&\cdots&0 \\ 0&\cdots&\lambda-a&c_{n-1} \end{vmatrix} =c_1c_2\cdots c_{n-1}\ne0$$

3.2.2 不变因子⭐️

概念

设$A(\lambda)$矩61的秩为$r$,对于正整数$k$,$1\le k\le r$,$A(\lambda)$中必定有非零的$k$级子式，

$A(\lambda)$中全部$k$级子式的首项系数为1的最大公因式$D_k(\lambda)$称为$A(\lambda)$的k阶行列式因子

$D_1(\lambda)=d_1(\lambda)$

$D_2(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)$

$D_3(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)d_3(\lambda)$

$\vdots$

$D_k(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda),k=1,2,\cdots,r$

不变因子$d_k(\lambda)=\frac{D_k(\lambda)}{D_{k-1}(\lambda)}$

$A(\lambda)$所有不变因子称为$A(\lambda)$的不变因子组

定理

经过初等变换不改变多项式矩阵的秩和行列式因子，有相同的行列式因子或不变因子是$A(\lambda)$和$B(\lambda)$相似的充要条件

计算

计算不变因子组

3.2.3 初等因子⭐️

概念

设矩阵$A(\lambda)$的不变因子是$d_1(\lambda),\cdots,d_i(\lambda)$.标准分解式是

$$d_1(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_{11}}(\lambda-\lambda_2)^{k_{12}}\cdots (\lambda-\lambda_j)^{k_{1j}}\\ d_2(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_{21}}(\lambda-\lambda_2)^{k_{22}}\cdots (\lambda-\lambda_j)^{k_{2j}}\\ \dots\\ d_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_{i1}}(\lambda-\lambda_2)^{k_{i2}}\cdots (\lambda-\lambda_j)^{k_{ij}}$$

其中$\lambda_1,\cdots,\lambda_s$是互异的复数。$k_{ij}$是非负整数，

则称$d_i(\lambda)$的标准分解式中的一次因式的方幂$(\lambda-\lambda_j)^{k_{ij}}(k_{ij}>0)$为$A$的初等因子。

$A$的所有初等因子(重复方按重数计算)。称为$A$的初等因子组

由定义知道，初等因子是被不变因子确定的

因为$d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r-1$，所以有指数如下关系

$0\le e_{11}\le e_{21}\le \cdots \le e_{r1}$

$0\le e_{12}\le e_{22}\le \cdots \le e_{r2}$

$\vdots$

$0\le e_{1s}\le e_{2s}\le \cdots \le e_{rs}$

定理

$m\times n$型的$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价的充要条件是他们有相同的秩和相同的初等因子

计算

例子一

例子二

3.2.4 分块矩阵的初等因子

如$\lambda$-矩阵

$$A(\lambda)= \begin{bmatrix} A_1(\lambda)&&& \\ &A_2(\lambda)&& \\ &&\ddots& \\ &&& A_t(\lambda) \end{bmatrix}$$

则$A_1(\lambda),A_2(\lambda),\cdots,A_t(\lambda)$各个初等因子的全体就是$A(\lambda)$的全部初等因子

第二种

如$\lambda$-矩阵

$$A(\lambda)= \begin{bmatrix} f_1(\lambda)&&&&&& \\ &f_2(\lambda)&&&&& \\ &&\ddots&&&& \\ &&& f_t(\lambda)&&& \\ &&&&0&& \\ &&&&&\ddots& \\ &&&&&& 0 \end{bmatrix}$$

则$f_1(\lambda),f_2(\lambda),\cdots,f_t(\lambda)$所有一次因式幂的全体就是$A(\lambda)$的全部初等因子

举个例子

$$A(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda &0\\ 0&\lambda+1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 &0\\ 0&\lambda(\lambda+1)\end{bmatrix}$$

初等因子为$\lambda,\lambda+1$

3.3 矩阵的相似对角形

3.3.1 矩阵相似

1) 矩阵相似概念

设$\phi$是$V$的线性变换，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$与$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$是$V$的两组基，由$\alpha_i$到$\beta_i$的过度矩阵为$P$,$\phi$在基$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$下的矩阵为$A$.在$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$下的矩阵为$B$,

则$B=P^{-1}AP$

定义$A,B\in F^{m\times n}$,若存在$P\in F^{m\times n}_n$，满足$B=P^{-1}AP$,则称$A$与$B$相似。即为$B\sim A$

换一种说法

设$A,B$都是$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵$P,$使得$P^{-1}AP=B$,则称$A$相似$B$，记为$A\sim B$

若$A\sim \Lambda$,其中$\Lambda$ 是对角阵，称$A$可相似对角化，$\Lambda$ 是$A$的相似标准型

2) 矩阵相似相关性质

相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。

• $\mid \lambda E-A\mid=\mid \lambda E-B\mid$

  $\mid A+kE\mid =\mid B+kE\mid$

• $r(A)=r(B)$

• $A,B$ 有着相同的特征值

• $\mid A\mid=\mid B\mid =\prod_{i=1}^n\lambda_i$

• $\sum a_{ii}=\sum b_{ii}$

• $A \sim B$

  $A+kE\sim B+kE$

  $\lambda_{A+kE}=\lambda_{B+kE}$

• 传递性:$A\sim B,B\sim C,\Leftrightarrow A\sim C$

• $A\sim B,A^n\sim B^n$

• $A\sim \Lambda \Leftrightarrow$ A有n个特征向量

3) 矩阵相似的充分必要条件

数字矩阵的相似与$\lambda$-矩阵的等价

定理:

设A,B是两个$n$阶数字矩阵，那么$A$与$B$相似的充分必要条件为它们的特征矩阵入$\lambda I-A$与入$\lambda I-B$等价.

定义:

对于数字矩阵$A$，我们称$\lambda I-A$的不变因子为$A$的不变因子，称入$\lambda I -A$ 的初等因子为$A$的初等因子.

3.3.2 对角矩阵

1) 对角矩阵概念

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵

形如

$$\begin{bmatrix} \lambda_1&&& \\ &\lambda_1&& \\ &&\ddots& \\ &&&\lambda_n \end{bmatrix}$$

2) 矩阵的可对角化条件

$n$阶矩阵$A$可对角化的充要条件是有$n$个线性无关的特征向量

或者$n$阶矩阵$A$可对角化的充要条件的$A$的每一个特征值的几何重复度等于代数重复度

3) 同时对角化

设$A\in C^{m\times n},B\in C^{m\times m}$,且$C=\begin{bmatrix}A&0\\ 0&B\end{bmatrix}$,则$C$可以对角化的充要条件是$A,B$都可以对角化

3.4 Jordan标准形⭐️⭐️

在矩阵A中相似的所有矩阵中，那个相似矩阵最简单？，这就是矩阵的Jordan标准形问题

3.4.1 Jordan标准形概念

1) Jordan块

称$n_i$阶矩阵

$$J_i= \begin{bmatrix} a_i&1&&& \\ &a_i&1&& \\ &&\ddots&\ddots& \\ &&&\ddots&1 \\ &&&&a_i \end{bmatrix}$$

为Jordan块

$(\lambda I-J_i)$的行列式因子$D_{n_i}(\lambda)=(\lambda-a_i)^{n_i},D_{n_i-1}=\cdots=D_1(\lambda)=1$

所以$J_i$的初等因子为$(\lambda-a_i)^{n_i}$

2) Jordan标准形

设$J_1,J_2,\cdots,J_s$为Jordan块，称准对角形矩阵

$$J= \begin{bmatrix} J_1&&& \\ &J_2&& \\ &&\ddots& \\ &&&J_s \end{bmatrix}$$

为Jordan标准形

$(\lambda I-J)$的初等因子是$(\lambda I-J_i),i=1,\cdots,s$初等因子的全体

所以$J$的初等因子为$(\lambda-a_1)^{n_1},(\lambda-a_2)^{n_2},\dots,(\lambda-a_s)^{n_s}$

定理，设$A\in C^{n\times n},A$的初等因子为$(\lambda-a_1)^{n_1},(\lambda-a_2)^{n_2},\dots,(\lambda-a_s)^{n_s}$

则$A\sim J=diag(J_1,J_2,\cdots,J_s)$,其中

$$J_i= \begin{bmatrix} a_i&1&&&& \\ &a_i&1&&& \\ &&\ddots&\ddots&& \\ &&&\ddots&1 \\ &&&&a_i \end{bmatrix},(i=1,2,\cdots,s)$$

注：如果不考虑Jordan块的排列顺序，方阵$A$的Jordan标准型是本质唯一的

n阶矩阵$A$可以对角化的充分必要条件是$A$的初等因子都是一次因式

例子一

$$\lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda+1&-1 &0 \\ 4 &\lambda-3&0 \\ -1&0&\lambda-2 \end{bmatrix}\simeq \begin{bmatrix} 1&& \\ &1& \\ &&&(\lambda-1)^2(\lambda-2) \end{bmatrix}$$

例子二

3) Jordan标准形的幂

定理

对于$r_i$阶Jordan块

$$J_i= \begin{bmatrix} a_i&1&&&& \\ &a_i&1&&& \\ &&\ddots&\ddots&& \\ &&&\ddots&1 \\ &&&&a_i \end{bmatrix}$$

Jordan块的n次幂

$$J_i^k= \begin{bmatrix} \lambda_i&C_k^1\lambda_i^{k-1}&C_k^2\lambda_i^{k-2}&\cdots&C_k^{r_i-1}\lambda_i^{k-r_i+1} \\ &\lambda_i&C_k^1\lambda_i^k&\cdots &C_k^{r_i-2}\lambda_i^{k-r_i+2} \\ &&\ddots&\ddots&\vdots \\ &&&\ddots&C_k^1\lambda_i^{k-1} \\ &&&&\lambda_i^k \end{bmatrix} \\ C_k^i=\frac{k!}{i!(k-i)!}$$

或者换种形式--导数的形式

$$J_i^k= \begin{bmatrix} \lambda_i&\frac{1}{1!}(\lambda^k)^{\prime}&\frac{1}{2!}(\lambda^k)^{\prime\prime}&\cdots&\frac{1}{(r_i-1)!}(\lambda^k)^{(r_i-1)} \\ &\lambda_i&\frac{1}{1!}(\lambda^k)^{\prime}&\cdots &\frac{1}{(r_i-2)!}(\lambda^k)^{(r_i-2)} \\ &&\ddots&\ddots&\vdots \\ &&&\ddots&\frac{1}{1!}(\lambda^k)^{\prime} \\ &&&&\lambda_i^k \end{bmatrix}$$

4) 矩阵的Jordan分解定理

设$A\in C^{n\times n}$,则$A$与一个Jordan矩阵$J$相似，即存在可逆矩阵$P\in C_n^{n\times n}$使得

$P^{-1}AP=J$

这个$Jordan$矩阵$J$除$Jordan$块的排序次序外有$A$唯一确定，并且称$J$为$A$的$Jordan$标准形

3.4.2 Jordan 标准形求法⭐️

1) 由Smith标准形求矩阵A的Jordan标准型方法

• 用初等变换特征矩阵$\lambda I_n-A$为Smith标准型，求出$A$的不变因子$d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_n(\lambda)$

• 将$A$的每个次数大于零的不变因子$d_i(\lambda)$分解为互不相同的一次因式方幂的成绩，这些一次因式的方幂称为$A$的初等因子

  设$A$的全部初等因子为

  $(\lambda-\lambda_1)^{r_1},(\lambda-\lambda_2)^{r_2},\cdots,(\lambda-\lambda_1)^{r_s}$

  其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$可能有相同的，且$r_1+r_2+\cdots+r_s=n$

• 写出每个初等因子$(\lambda-\lambda_i)^{r_i}$对应的Jordan块$J_i=\begin{bmatrix}a_i&1&&& \\ &a_i&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\ddots&1\\ &&&&a_i\end{bmatrix}$

  以这些Jordan块构成的Jordan矩阵

  $J=\begin{bmatrix}J_1&&&\\ &J_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&J_s\end{bmatrix}$

例子

2) 利用秩

方法如下

• 计算$rank(A-\lambda_iE)^l$得出

  $rank(J-\lambda_iE)^l=rank(A-\lambda_iE)^l,l=1,2,\cdots$

• 通过分析$rank(J-\lambda_iE)^l,l=1,2,\cdots$,得出对应于特征值$\lambda_i$的Jordan块的个数，阶数

求出如下的矩阵的Jordan

$$\begin{bmatrix}-1&1&0 \\ -4&3&0 \\ 1&0&2\end{bmatrix}$$

解法如下

$$1. |\lambda E-A|=\begin{bmatrix}\lambda+1 &-1&0 \\ 4&\lambda-3&0 \\ -1&0&\lambda-2\end{bmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-1)^2 \\ 2. number=3-rank(E-A)=3-r(\begin{bmatrix}2&-1&0 \\ 4&-2&0 \\ -1&0&-1\end{bmatrix})=1 \\ J_1=\begin{bmatrix}1&0 \\ 1&1\end{bmatrix} \\ \to J=\begin{bmatrix}2&& \\ &1& \\ &1&1\end{bmatrix}$$

首先讲一下

Jordan 标准型的几个基本性质

• 每一个Jordan块$J_i$对应属于$\lambda_i$的一个特征向量

  $$J= \begin{bmatrix} 2&1&&& \\ &2&1&& \\ &&2&& \\ &&&3&1 \\ &&&&3 \end{bmatrix} \\ P^{-1}AP=J \\ A\begin{bmatrix}P_1&P_2&P_3&P_4&P_5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}P_1&P_2&P_3&P_4&P_5\end{bmatrix} \\ AP_1=2P_1\ AP_4=3P_4 \\ A+2=P_1+2P_2,AP_3=P_2+2P_3,AP_5=P_4+3P_5$$

• 对于给定的$\lambda_i$,其对应的Jordan块的个数等于$\lambda_i$的几何重复度

  $rank(\lambda_iE-A)=n-q$

• 特征值$\lambda_i$所对应的全体Jordan块的阶数之和$\lambda_i$的代数重复度

• 设$n$阶方阵$A$相似于Jordan标准型$J$,且$P^{-1}AP=J$,则

  $rank(\lambda_iE-A)^l=rank P^{-1}(\lambda_i E-A)^lP=[P^{-1}(\lambda_iE-A)P]^l=rank(\lambda_iE-J)^l$

• 对于$n_i$阶的Jordan块$J_i,(J_i-\lambda_iE)^l$的秩变化如下

  

3.4.2 相似变换矩阵P⭐️

设$n$阶方阵$A$的Jordan标准型为$J$,则存在可逆矩阵$P$使得

$P^{-1}AP=J$

称$P$为相似变换矩阵

3.5 舒尔定理

3.5.1 舒尔定理(schur)

设$A,B\in C^{n\times n}$,若存在酉矩阵$U\in U^{n\times n}$使得$U^HAU=U^{-1}AU=B$

这里$B$为上三角矩阵，$T$的主对角线上的元素都是$A$的特征值。

则称$A$酉相似于$B$

换句话讲

任一复数方阵都可以酉相似于上三角矩阵

性质

设$A\in C^{n\times n}$,则有可逆矩阵P，可得

$$P^{-1}AP=\begin{bmatrix} \lambda_1&b_{12}&\cdots&b_{1n} \\ &\lambda_2&& \\ &&\ddots&\vdots \\ 0&&&\lambda_n \end{bmatrix}$$

且$\sum_{i,j=1}^n|b_{ij}|< \xi$,其中$\xi$是预先给定的任一正数

3.6 矩阵分解⭐️

3.6.1 QR分解(正交三角分解)

1) QR分解概念

设$A_{m\times n}$的秩为$n$，则$A$可以唯一地分解为

$A_{m\times n}=Q_{m\times n}R_{n\times n}$

其中$Q_{m\times n}$是标准正交向量组矩阵，$R_{n\times n}$是正线上三角阵

2) QR分解证明

https://zhuanlan.zhihu.com/p/362248020

3) QRf分解求法

• 对矩阵$A_{m\times n}$进行施密特标准正交化，得出矩阵$Q_{m\times n}$
• 通过$R_{n \times n}=Q_{m\times n}^TA_{m\times n}$得出矩阵$R_{n\times n}$

3.6.2 满秩分解

参考文章

https://zhuanlan.zhihu.com/p/344306107

1) 满秩分解概念

设$A_{m\times n}$的秩为$r$,则存在秩为$r$的矩阵$B_{m\times r}$,秩为$r$的矩阵$C_{r\times n}$，满足

$$A_{m\times n}=B_{m\times r}C_{r\times n}$$

其中，$B_{m\times r}$称为列满秩矩阵(因为列数等于秩)，$C_{r\times n}$称为行满秩矩阵(因为行数等于秩)

这样的分解不是唯一的

2) 满秩分解的证明

3) 满秩分解的求法-2种方法

那么，该如何寻找这样的一个满秩分解呢？

红色的部分是矩阵$B_{4\times 5}$的极大线性无关组，所以，红色部分的列数为3，就等于矩阵$B_{4\times 5}$的秩$r=3$,

而蓝色部分是行最简形矩阵的前$r=3$行，行数也是矩阵$B_[4\times 5]$的秩$r=3$

方法步骤如下

• 首先对矩阵$A_{m\times n}$进行初等行变换，变成行最简形矩阵$A_1$,得到$A_{m\times n}$的秩为$r$
• 找出矩阵$A_{m\times n}$的列向量组的极大线性无关组组成的矩阵，这个矩阵就是满秩分解的$B_{m\times r}$
• 取行最简形矩阵$A_1$的前$r$行构成的矩阵，这个矩阵就是满秩分解的$C_{r\times n}$
• 写出$B_{m\times r}C_{r\times n}$

例子

法二

3.6.3 奇异值分解(SVD分解)⭐️

https://zhuanlan.zhihu.com/p/399547902

1) 奇异值分解定义

前期数学准备

引理1

对于任何一个矩阵$A$都有

$rank(AA^H)=rank(A^HA)=rank(A)$

引理2

对于任何一个矩阵$A$都有$AA^H$与$A^HA$都是半正定的$Hermite$矩阵

$x^H A A^H x=(A^HA)^H\quad A^H x\ge 0,x\in C^m\to$半正定

定理

设$A\in C^{m\times n}_r,\lambda_i$是$AA^H$的特征值，$\mu_i$是$A^HA$的特征值，他们都是实数。

$$\lambda_1\ge \lambda_2\ge \cdots\ge \lambda_r>\lambda_{r+1}=\cdots=\lambda_m=0 \\ \mu_1\ge\mu_2\ge \cdots\ge\mu_r\ge\mu_{r+1}=\mu_{r+2}=\cdots=0$$

那么$\lambda_i=\mu_i>0,i=1,2,3,\cdots,r$

此时，我们称$a_i=\sqrt{\lambda_i}=\sqrt{\mu_i}>0$为矩阵$A$的正奇异值，简称奇异值

$AA^H,A^HA$的非零特征值相同

正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长

概念

设$A\in C^{m\times n}$,则存在酉矩阵$P,Q$，使得

$$P^HAQ=\begin{bmatrix}D&0 \\ 0&0\end{bmatrix}$$

这里$D=diag\{d_1,d_2,\cdots,d_r\}$，且$d_1\ge d_2\ge \cdots\ge d_r>0$

$d_i$称为$A$的奇异值，而

$A=P\begin{bmatrix}D&0 \\0&0\end{bmatrix}Q^H$

称为矩阵$A$的奇异值分解式

例子

2) 奇异值分解证明

3) 奇异值分解求法

第一步

求出$A^TA$的n个特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r,\lambda_{r+1}=0,\cdots,\lambda_n=0$（并按照从大到小排列)和对应的标准正交的特征向量$v_1,v_2,\cdots ,v_r,v_{r+1},v_n$

第二步

取标准正交的特征向量构成正交矩阵

$V_{n\times n}=(v_1,v_2,\cdots,v_r,v_{r+1},\cdots,v_n)_{n\times n}$

取正奇异值，即前$r$个奇异值，即非零特征值开根号$\sqrt{\lambda_1},\sqrt{\lambda_2},\cdots,\sqrt{\lambda_r}$，构成对角矩阵

$D_{r\times r}=\begin{bmatrix}\sqrt{\lambda_1}&&&\\ &\sqrt{\lambda_2}&&\\ &&\ddots&\\ &&&\sqrt{\lambda_r}\end{bmatrix}$

添加格外的0组成$m\times n$矩阵

$\sum_{m\times n}=\begin{bmatrix}D_{r\times r}&O \\ O&O\end{bmatrix}$

第三步

构成前$r$个标准正交向量$u_1,u_2,\cdots,u_r$,其中

$u_i=\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}Av_i,i=1,2,\cdots,r$

第四步

按照标准正交基扩充的方法，将$u_1,u_2,\cdots,u_n$扩充为$m$维向量空间$R^m$的标准正交基$u_1,u_2,\cdots,u_r,b_1,\cdots,b_{m-r}$组成正交矩阵

$U_{m\times m}=(u_1,u_2,\cdots,u_r,b_1,\cdots,b_{m-r})_{m\times m}$

第五步

$A=U\begin{bmatrix}D_{r\times r}&O \\ O&O\end{bmatrix}V^T$

例子

3.6.4 LU分解

3.7 总结应用

总结

• $\lambda$-矩阵换成Smith矩阵后，矩阵对角线上的值就是不变因子

• 初等因子是被不变因子确定的

应用

• 矩阵理论在计算机方面的应用，如矩阵的奇异值分解的应用,QR分解在网络方面的应用，还有在三维图形图像方面的应用。
• 多项式矩阵理论在网络分析中的应用，基于回路矩阵B、基本割集矩阵Q和支路伏安特矩阵[Y(s)Z(s)]列写出线性时不变有源网络的网络矩阵P(s)，借助多项式矩阵理论中有关解耦零点的概念和理论，研究网络的复杂度和稳定性。
• 多项式矩阵理论知识，在建立和完善线性控制系统理论过程中具有基础作用，应用广泛。