1. 线性空间与线性变换

笔记原版链接 (opens new window)

https://gitee.com/fakerlove/matrix

应用于微分方程，概率与统计，优化，信号处理，控制工程，经济理论等领域

视屏教学

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1.0 考试重点+题型样例

重点

• 线性空间和线性子空间的判定/证明
• 求向量在基下的坐标，求一个基到另一个基的过渡矩阵
• 维数定理（的简单计算）
• 线性变换的证明，性质，线性变换的和，乘积，数乘，逆变换，象子空间和核（kernel）
• 线性变换在基下的矩阵

参考资料

https://zhuanlan.zhihu.com/p/107261835

1.0.1 线性空间的判定

线性空间中两种运算的8条运算规律缺一不可，还有两个封闭性

题目1$\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)|a_1+a_2+\cdots+a_n=1\}\sub P^n,a_i\in P$请问这是线性空间吗？--送分

不是，因为0不在里面，加法不封闭，乘法也不封闭

$\{x\in P^n|Ax=0,A\in C^{n\times n}\}$

构成

1.0.2 线性维数,和空间，交空间的维数与基

第二大类题

设$\alpha_1=(1,0,2,1),\alpha_2=(2,0,1,-1),\alpha_3=(3,0,3,0)$

$\beta_1=(1,1,0,1),\beta_2=(4,1,3,1)$

若$V_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),V_2=(\beta_1,\beta_2)$,

求$V_1+V_2$的维数和基，求$V_1\cap V_2$的基

$$V_1+V_2=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2) \\ =\begin{bmatrix} 1&2&3&1&4 \\ 0&0&0&1&1 \\ 2&1&3&0&3 \\ 1&-1&0&1&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1&2&3&1&4 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&-3&-3&-2&-5 \\ 0&-3&-3&0&-3\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1&0&1&0&1 \\ 0&1&1&0&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&0\end{bmatrix}$$

所以基为$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1$,维数是3，这里维数等于秩

$dim(V_1\cap V_2)+dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV_2=2+2$

$dim(V_1\cap V_2)=4-3=1$

1.0.3 线性变换在另一组基下的矩阵

书上P21,20题

$$\varepsilon_1=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 1\end{bmatrix},\varepsilon_2=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix},\varepsilon_3=\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix} \\ \eta_1=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\-1\end{bmatrix},\eta_2=\begin{bmatrix}2\\ 2\\ -1\end{bmatrix},\eta_3=\begin{bmatrix}2\\ -1 \\-1 \end{bmatrix}$$

又$T$是$R^3$的线性变换，且$T\varepsilon_i=\eta_i(i=1,2,3)$；试求

(1)求基$\varepsilon$到$\eta$的过渡矩阵

(2)$T$在基$|\varepsilon_i|$下的矩阵

(3)$T$在基$|\eta|$下的矩阵

$$(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)P \\ B=(\eta_1,\eta_2,\eta_3),A=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) \\ B=AP,P=A^{-1}B \\ (A|B)\to (E|A^{-1}B) \\ \begin{bmatrix}1&2&1 \\ 0&1&1 \\ 1&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2&-1 \\ 2 &2&-1 \\ -1&-1&-1\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2&\frac{3}{2}&\frac{3}{2} \\ 1&\frac{3}{2}&\frac{3}{2} \\ 1&\frac{1}{2}&-\frac{5}{2} \end{bmatrix}$$

第二问

$(T\varepsilon_1,T\varepsilon_2,T\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A$

$(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A$

这里$A=P$

第三问

$T$在$\eta$下矩阵$B=P^{-1}AP=P^{-1}PP=P$

1.0.4 相关概念集合

1. 集合：两种表示方式（列举、性质），并集、交集、和集（元素和的可能值集合）；

2. 数域：一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中，称为数域，如有理数域、复数域、实数域；

3. 线性空间是定义在数域 K 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲集合，再讲数域，最后讲线性空间。

4. 映射：象、原象，到自身的映射（变换），映射的乘积、结合律；

5. 线性空间：一个集合，元素满足加法结合律、交换律，数乘（数域 K 上的数）分配率、结合律，存在零元素、负元素，乘 1 不变，称为数域 K 上的线性空间（向量空间），元素称为向量，如实线性空间、复线性空间、矩阵空间；

6. 基与坐标：基（基底）、基向量、坐标（分量）

7. 基与坐标变换：旧基 X 到新基 Y 过渡矩阵 C，基变换公式 $Y = XC$，坐标变换公式$\eta=C^{-1}\sigma$

8. 线性子空间：线性空间 V 的非空子集$V_1$，满足对加法和数乘封闭$dimV_1\le dim V$，由$V$上的向量生成的子空间记为$L(x_1,\cdots,x_m)=\{k_1x_1+\cdots+k_mx_m\}$；零空间记为$L(0)$

9. 矩阵的值域：矩阵$A\in R^{m\times n}$的值域是其所有列向量构成的子空间，记为：

   $R(A)=L(a_1,\cdots,a_n)=\{Ax|x\in R^n\}$

10. 矩阵的核空间：矩阵$A\in R^{m\times n}$的核空间定氮仪为$N(A)=\{x|ax=0\}$,即齐次方程组$Ax=0$的解空间，$N(A)$的维度(即解空间的维度)称为零度，记为$n(A)=dimN(A)$

11. 维度与秩：根据“齐次解空间维度+矩阵秩=n”可推

    $rank(A)+n(A)=n$

    $rankA^T+n(A^T)=m$

    $n(A)-n(A^T)=n-m$

1.1 线性空间相关概念

1.1.1 域

• 域有加减乘除四种运算的的系统。

• 如果复数的一个非空集合$P$含有非零的数，且其中任意两数的和差积商(除数不为0)仍然属于这个集合，则称数集$P$为一个数域。

  有理数域，实数域，复数域。

• 这两个都是映射

  $A\to B$，这个表示集合的映射

  $a\mapsto b$，这个表示集合中的元素的映射

1.1.2 域的两种运算

• 二元加法运算

  给定非空集合V和域F,若存在映射$\sigma:V\times V\to V\\ (V_1,V_2)\to\sigma (V_1,V_2)$,则称$\sigma$为V上的加法。

  $\times$是卡式积

• 二元数乘运算

  给定非空集合$V$和域$F$,两者之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于F中任意数$k$与$V$中任意元素$\alpha$,经这一运算后得到的结果仍为$V$中的一个确定的元素，称为$k$与$\alpha$的数量乘积，记作$k\alpha$

1.1.3 线性空间概念

设$V$是一个非空的集合，$F$是一个数域，在集合$V$中定义两种代数运算，一种是加法运算，用$+$来表示，另一种是数乘运算，用$\cdot$来表示，并且这两种运算满足下列8条运算律

加法运算满足以下4条性质：

• 对任意$\alpha,\beta \in V,\alpha+\beta=\beta+\alpha$
• 对任意$\alpha,\beta,\gamma\in V,(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$
• V中存在一个零元素，记作$0$,对任意$\alpha\in V$,都有$\alpha+0=\alpha$
• 任一$\alpha\in V$,都有$\beta\in V$,使得$\alpha+\beta=0$,则元素$\beta$称为$\alpha$的负元素，记作$-\alpha$

数乘运算满足以下4条性质

• 对任一$\alpha \in \mathbb{V}$,都有$l\alpha \in \alpha$
• 对任一$\alpha \in \mathbb{V},k,l\in P,k(l\alpha)=(kl)\alpha$
• 对任一$\alpha\in \mathbb{V},k,l\in P,(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$
• 对任一$k\in \mathbb{P},\alpha,\beta\in \mathbb{V},k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

注意点

• 其中$k,l\in\mathbb{F} $，称这样子的$V$为数域$\mathbb{F}$的线性空间

• 全体实函数集合构成实数域$\mathbb{R}$上的线性空间(函数空间)

• 复数域$\mathbb{C}$上全体$m\times n$矩阵构成的集合$C^{m\times n}$为$\mathbb{C}$上的线性空间(矩阵空间)

• 实数域$\mathbb{R}$上全体次数小于或等于$n$的多项式集合$R[x]_{n+1}$构成实数域上$\mathbb{R}$上的线性空间(多项式空间)

  实数域$\mathbb{R}$上全体次数等于n的多项式集合不构成实数域$\mathbb{R}$上的线性空间

• 设A是复数域$\mathbb{C}$上的$m\times n$矩阵，x为$n$维列向量，则$m$为列向量集合

  $V=\{y\in C^m|y=Ax,x\in C^n\}$

  构成复数域$\mathbb{C}$上的线性空间，称为$A$的列空间或A的值域，其中，$V$中的加法和数乘运算与$C^m$中的对应运算规则相同

remark 1: 空间这个概念只是为了类比2维或3维几何空间的一个概念，更好的理解为元素的集合，线性空间中的元素统称为抽象向量(The form that vectors take doesn't really matter, it can be anything)。

remark 2: 集合$\mathbb{V}$的中元素为：数组、函数、有向线段时，对应称为数域空间、函数空间、几何空间。

remark 3: 特别地，对于几何空间（有向线段的集合），加法运算采用平行四边形或三角形法则进行计算，数乘运算表示对有向线段进行同向或反向伸缩。

1.1.4 线性相关,无关等概念

1) 线性表出

线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，向量组的极大线性无关组，向量组的秩

• $\alpha=k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_n\beta_n$,就可以说$\alpha$是$\beta$是线性组合，或者线性表出。

• 如果$\mathbb{P}$中有一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_n$,使得

  $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0$

  则称向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关，若等式当且仅当$k_1=k_2=\cdots=k_n=0$时才成立。则称这组向量组线性无关。

2) 线性相关，无关

线性相关性可以用线性非齐次方程组的解集来描述， 设抽象矩阵$A=[a_1,\cdots,a_p]$,由$p$个抽象向量组成，方程组

$$[a_1,\cdots,a_p]\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_p\end{bmatrix}=Ax=e$$

若方程不存在非零解(即只有$x=0\in \mathbb{F}^p$,成立)，则称向量组$a_1,\cdots,a_p$线性无关；

若方程存在非零解，则称向量组$a_1,\cdots,a_p$线性相关；

3) 线性相关性质

• 含有零向量的向量组一定线性相关
• 向量组整体无关$\Rightarrow$向量组部分无关，向量组部分相关$\Rightarrow$向量组整体相关
• 如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关
• 向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一
• 如果向量组(I)可以由向量组（II)线性表出，那么向量组（I)的秩$\le$向量组（II)的秩
• 等价的向量组秩相同

实数域$\mathbb{R}$上的函数空间中，函数组$e^x,e^{2x},e^{3x},e^{4x}$是一组线性无关的函数

1.2 基变换与坐标变换

1.2.1 基底和维数

设$V$为数域$F$上的一个线性空间，如果在V中存在n个线性无关向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，

使得$V$中**任意一个向量$\alpha$**都可以由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出，即$\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n$

则称$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$为$V$的一个基底

$(k_1,k_2,\cdots,k_n)^T$为向量$\alpha$在基底$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$下的坐标，此时我们称$V$为一个$n$维线性空间，，记为$dim V=n$

注:由上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义，线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。

1.2.2 基变换和过渡矩阵⭐️

设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$(旧的),与$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$(新的)是$n$维线性空间$V$的两组基底，他们之间的关系为

$$\beta_i=\alpha_{1i}\alpha_1+\alpha_{2i}\alpha_2+\cdots+\alpha_{ni}\alpha_n \\ =\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots \\ a_{ni} \end{bmatrix}$$

将上述矩阵化可以得到下面的关系式

$$\begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&\cdots&\beta_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}$$

称n阶方阵$C=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}$是由旧基底到新基底的过渡矩阵

基变换公式

$\begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&\cdots&\beta_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix}C$

其中$C=(c_{ij})_{m\times n}$称为从基$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵(或基变换矩阵)，这个式子叫做基变换公式

定理：

过渡矩阵是可逆的

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求过渡矩阵：求n个AX=b，就是把每个基$\beta_i$用$\alpha$基表示出来。因为系数矩阵是一样，放在一起消元就好了

例子一

$\alpha=(2,3)^T$在自然基的$\varepsilon_1,\varepsilon_2$下的坐标是$(2,3)$,但是在基$\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(1,1)^T$下，由于$\alpha=-\alpha_1+3\alpha_2$，故此基下 的坐标为$(-1,3)$

例子二

1.2.3 坐标变换公式⭐️

任取$\zeta \in V$,若$\zeta$在两组基下的坐标分别为$\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$与$\begin{bmatrix}y_1&y_2&\cdots&y_n\end{bmatrix}^T$,那么我们有坐标变换公式

$$\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}=P\begin{bmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n\end{bmatrix}$$

---

求坐标：写出基的转置组成的矩阵A作为系数矩阵，把向量b当常数：求AX=b（高斯消元)

例子

1.3 子空间与维数定理

1.3.1 子空间概念

设$V$为数域$F$上的一个$n$维线性空间，$W$为$V$的一个非空子集合，如果对于任意的$\alpha,\beta\in W$以及任意的$k,l\in F$都有

$$k\alpha+l\beta\in W$$

那么我们称$W$为$V$的一个子空间

线性空间$V$和单个零向量构成的子空间$\{0\}$是$V$的两个平凡的子空间。

设$A\in R^{m\times n}$,那么线性方程组$AX=0$的解空间为$n$维线性空间$R^n$的一个子空间。解空间的基底维$AX=0$的基础解系。

解空间的维数=维基础解系所含向量的个数

1.3.2 子空间的交与和

设$V_1,V_2$是线性空间$V$的两个子空间，命

$V_1\cap V_2=\{\alpha|\alpha\in V_1,\alpha\in V_2\}$

$V_1+ V_2=\{\alpha=\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\}$

可以验证$V_1\cap V_2$和$V_1+V_2$都构成$V$的线性子空间，分别称为$V_1$和$V_2$的交空间与和空间

1.3.3 线性子空间的判定⭐️

证明加法封闭和乘法封闭即可

设$W$是数域$P$上线性空间$V$的非空子集，则$W$是$V$的线性子空间的充要条件是

• 若$(\alpha,\beta)\in W$,则$\alpha+\beta \in W$
• 若$\alpha\in W,k\in P$,则$k\alpha\in W$

---

1.3.4 维数公式⭐️

1) 维数公式概念

若$V_1$和$V_2$是线性空间$V$的两个子空间，则

$dimV_1+dimV_2=dim(V_1+V_2)+dim(V_1\cap V_2)$

2) 矩阵的维数

在数学中，矩阵的维数就是矩阵的秩，矩阵的秩就是矩阵中非零子式的最高阶数。

3) 矩阵构成的线性空间的维数

怎么确定由矩阵构成的线性空间的维数？

由矩阵构成的线性空间的维数---这要看矩阵的特点.

$\{A|A=A^T,A\in R^{n\times n}\}$实对称矩阵的维数是$\frac{n(n+1)}{2}$

解释如下: 因为是对称的,$(i,j)$元素和$(j,i)$元素是相等的,所以维数只决定于对角线和上半（或下半）部分的元素,一共是 $1+2+3+...+n=n(n+1)/2$维

1.4 线性空间的同构

1.4.1 同构映射(线性映射)

$V_1,V_2$是数域$F$上两个线性空间，映射我$\phi=V_1\to V_2$,如果对于$V_1$的任何两个向量$\alpha_1,\alpha_2$和任何数$\lambda\in F$,都有

$\phi(\alpha_1+\alpha_2)=\phi(\alpha_1)+\phi(\alpha_2)$

$\phi(\lambda\alpha_1)=\lambda\phi(\alpha_1)$

则称映射$\phi$是由$V_1$到$V_2$的线性映射，称$\alpha_1$为$\phi(\alpha_1)$的原像，$\phi(\alpha_1)$为$\alpha_1$的像

$V_1=V_2=V$,则称$\phi$为$V$上的线性变换

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同构---换句话

群$G$和群$H$之间建立了同构映射，那么不仅群$G$中的每个元素在群$H$中都有一一映射。

而且对于群$G$中的每个元素$g_3=g_2\circ g_1$,在群运算$\circ$下得到的元素$g_3=g_1\circ g_2$也在这个映射下保持一一对应

同构是两个代数体系之间最精细的刻画，然而一般情况下，同构映射很难找到，于是我们退而求其次，提出一个比同构弱一些的要求：同态。

1.4.2 同构映射相关性质

$\phi(0)=0$

$\phi(\sum_{i=1}^sk_i\alpha_i)=\sum_{i=1}^sk_i\phi(\alpha_i)$

设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V_1$且$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关。则$\phi(\alpha_1),\phi(\alpha_2),\cdots,\phi(\alpha_s)$也线性相关

1.4.3 线性映射的值域，核子空间，零度⭐️

• 定义$\phi$是$V_1$到$V_2$的一个线性映射

  设$\phi(V_1)=\{\beta=\phi(\alpha)\in V_2,\forall \alpha\in V_1\}$

  则$\phi(V_1)$是$V_2$的线性子空间，称为线性映射$\phi$的值域，称为$R(\phi)$

• 令$N(\phi)=\phi^{-1}(0)=\{\alpha\in V_1|\phi(\alpha)=0\}$

  则$N(\phi)$是$V_1$的线性子空间，称为线性映射$\phi$的核子空间，$dimN(\phi)$称为$\phi$的零度

---

1) 值域R(A)-象子空间

设$A$的$m\times n$的矩阵，称其列向量构成的子空间为$A$的值域空间$R(A)$，即任意$n\times 1$维的向量$x$，有$Ax=b$，$b$是$A$值域空间中的一个元素，所有的b构成了$A$的值域空间

$R(A)=\{b|b=Ax,x\in R^n\}$

换句话讲

某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R(A)来表示。

假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来所有可能的位置。值域的维度也叫做秩（Rank）。

值域的维数就是秩

值域所在的空间定义为W空间。

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2) 零空间N(A)-核空间

已知$A$为一个$m\times n$矩阵，$A$的零空间（nullspace），又称核（kernel），是一组由下列公式定义的$n$维空间向量

$ker(A)=\{Ax=0|x\in C^n\}$

即线性方程组$Ax=0$的所有解$x$的集合

在数学中，一个算子$A$的零空间是方程$Av=0$的所有解$v$的集合，它也叫做$A$的核

---

3) 二者性质

设$\phi$是n维线性空间$V_1$到$m$维线性空间$V_2$的线性映射，那么$dimR(\phi)+dimN(\phi)=n$

1.5 线性变换定义和矩阵表示

1.5.1 线性变换定义

线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本

数域$P$上的线性空间$V$的一个变换$T$称为线性变换，如果对任意$(\alpha,\beta)\in V$即$k\in P$,都有

$T(\alpha,\beta)=T(\alpha)+T(\beta),T(k\alpha)=kT(\alpha)$

例子

1.5.2 线性变换矩阵表示(变换矩阵)

线性变换能够用矩阵表示，如果T是一个把$R^N$映射到$R^M$的线性变换，且x是一个具有n个元素的列向量，那么我们把m*n的矩阵A,称为T的变换矩阵

官方概念如下

设$\phi$是$V$的线性变换，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是$V$的一组基

$\phi(\alpha_j)=\sum_{i=1}^ma_{ij}\alpha_i$

则

$$\phi(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)= (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} \\ =(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)A$$

n阶方阵$A$称为$\phi$在$(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$下的矩阵表示

例子

1.5.3 常见的线性变换

• 把线性空间$V$的每个向量都映射到零向量的变换叫做零变换

• 把$V$中每个向量都映射到自身的变换叫做单位变换(恒等变换)

  $T(\alpha)=\alpha$

• $T(\alpha)=k\alpha$数乘变换。恒等变换是特殊的线性变换

1.5.4 矩阵的特征值与特征向量

1) 概念

设$A$是n阶矩阵，若存在数$\lambda$及$n$元非零列向量$X$,使得$AX=\lambda X$或$(\lambda I-A)X=0$

设$A$是数域$F$上的$n$阶矩阵，矩阵$\lambda I-A$称为$A$的特征矩阵

行列式

$$|\lambda I-A|= \begin{bmatrix} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n} \\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{bmatrix}$$

称为$A$的特征多项式

n次代数方程$|\lambda I-A|=0$称为$A$的特征方程，它的根称为$A$的特征根(或特征值)

矩阵$A$的所有特征根的全体称为$A$的谱，即为$\sigma(A)$

2) 性质

• $A\alpha=\lambda\alpha,\alpha\ne 0$

  $\alpha$是$(\lambda E-A)x =0$的非零解

• $\mid \lambda E-A\mid=0$

• $P^{-1}AP=B$

• $\prod_{i=1}^n \lambda_i=\mid A\mid$

• 如果是n 阶矩阵，$r(A)=1,\mid \lambda E-A\mid =\lambda^n-\sum a_{ii}\lambda^{n-1}$

• 不同特征值的特征向量线性无关$k$重特征值至多有$k$个线性无关的特征向量

• 如果$P^{-1}AP=B$若$A\alpha=\lambda\alpha$,则$B(P^{-1}\alpha)=\lambda(P^{-1}\alpha)$

  若$B\alpha=\lambda\alpha$,则$A(P\alpha)=\lambda(P\alpha)$

• 特征值相等是矩阵相似的必要条件。特征值相等不一定相似，除非这些特征值都不同。比如1,2如果有特征值重根的时候，就需要验证了

1.6 不变子空间

1.6.1 概念

设$T$是线性空间$V$的一个线性变换，又$W$是$V$上的一个子空间，若对任一向量$\alpha \in W$,都有$T\alpha \in W$，即

$$T(W)\subseteq W$$

则称$W$是线性变换$T$的不变子空间，也就是说子空间$W$对线性变换$T$是不变的

1.6.2 特征子空间

$n$阶矩阵$A$的属于特征值$\lambda_0$的全部特征向量再添上零向量，可以组成$R^n$的一个子空间，称之为矩阵A的属于特征值$\lambda_0$的特征子空间，记为$V_{\lambda_0}$,不难看出$V_{\lambda_0}$正是特征方程组$(\lambda_0 I-A)X=0$的解空间

相关概念

• 设$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$是A的$r$个互不相同的特征值，对应的重数分别为$p_1,p_2,\cdots,p_r$,则称$p_i$为$\lambda_i$的代数重复度

  $|\lambda I-A|=(\lambda-\lambda_1)^{p_1}(\lambda-\lambda_2)^{p_2}\cdots(\lambda-\lambda_r)^{p_r}$

• 特征子空间$V_{\lambda_0}$的维数$q_i$为$\lambda_i$的几何重复度

性质

一个特征向量不能属于不同的特征值

属于不同特征值的特征向量是线性无关的

矩阵A的任一特征值$\lambda_i$的几何重复度$q_i$不大于它的代数重复度$p_i$